Matematică și Teologie

Există un "loc" foarte înalt, în care matematica se întâlneşte cu teologia.


49 comentarii

Matematicianul Florian Colceag: „Pot demonstra că Dumnezeu există și acționează”

florin-colceagDragilor vă invităm să citiți un interviu cu domnul Florin Colceag, matematician și antrenor de genii în România. Deși interviul e realizat în 2013, sunt sigur că vă va fi de folos:

„Florian Colceag nu are lacrima uşoară, dar întrebarea reporterului îi dezlănţuie emoţii pe care nu le mai poate, pur şi simplu, controla.

Camera e inundată de lumina galbenă, înşelătoare a zilei, de parcă ar fi început de vară, iar iarna nu ar soma tot mai insistent paltoanele să stea departe de şifoniere. În surdină, câteva acorduri de muzică clasică părăsesc difuzoarele televizorului, sabotând liniştea crudă a decorului spartan înainte de a se furişa nevăzute spre colţurile încăperii.

Bărbatul îşi întoarce privirea într-o parte, fugind de ochii iscoditori ai interlocutorului, îşi adună câteva secunde nodurile din gât şi după ce revine în poziţia iniţială murmură mai mult pentru sine: iertaţi-mă…

Apoi, repetă aproape mecanic întrebarea, căutând parcă încă puţin timp pentru a-şi face ordine în gânduri. „Ce m-a determinat să nu mă dau bătut?”. „Ştiţi, i-am promis mamei mele, pe patul de moarte, că nu voi renunţa să încerc să fac ceva pentru ţara asta. Angajamentul ăsta nu-l voi putea uita vreodată.”

Florian Colceag s-a născut în 1951, în judeţul Gorj, şi antrenează genii. Are zeci de medalii de aur obţinute de olimpicii pe care i-a ghidat la un moment sau altul la competiţiile internaţionale de matematică. E preşedintele unei asociaţii pentru copii supradotaţi şi probabil singurul profesor din România care nu educă, ci călăuzeşte.

Nu doarme mai mult de patru ore pe noapte, telefonul mobil îi sună fără încetare, iar în curtea casei sale din apropierea Bucureştiului ar putea fi confundat cu un fel de Epicur modern, care îşi strânge discipolii la o șuetă despre frumuseţea simplă şi uitată a vieţii.

Dela0.ro: Ce sunteţi? Matematician, psihopedagog, antrenor de genii?

Florian Colceag: Sunt ţăran.

Dela0.ro: Ţăran?

Florian Colceag: Da, sunt un ţăran care a devenit matematician, un matematician care a devenit psihopedagog şi un psihopedagog care a devenit un economist. Dar la bază sunt ţăran şi mi se pare absolut normal să recunosc asta. Eu iubesc ţara, îmi place natura.

Dela0.ro: Asta defineşte un ţăran, iubirea pentru ce îl înconjoară? Continuarea


4 comentarii

Cât de mare este Universul?

Foto: Nebuloasa Orion captata de Telescopul spatial Hubble. Cea mai fotografiata formaţiune stelară, avand masa de aproximativ 2000 de mase solare, situată la peste 1300 de ani lumină de Terra.

Foto: Nebuloasa Orion captata de Telescopul spatial Hubble. Cea mai fotografiata formaţiune stelară, avand masa de aproximativ 2000 de mase solare,
situată la peste 1300 de ani lumină de Terra.

Dimensiunile Universului nu sunt cunoscute. Tehnologiile ultimelor decenii au permis totuşi depăşirea unor limite de observaţie din ce în ce mai mari, încât astăzi se poate spune fără greşeală că Universul cunoscut este atât de mare, încât niciun model comparativ nu este suficient de bun pentru a traduce dimensiunile sale în termeni familiari experienţei noastre. De exemplu, nici comparaţia dintre cel mai mic fir de praf vizibil cu ochiul liber şi întreg sistemul nostru solar nu poate sugera corect cât de mică este planeta noastră în raport cu întreg spaţiul cosmic cunoscut!

Un model care să sugereze mărimea Universului observabil se poate totuşi construi, cu ajutorul mai multor termeni de comparaţie. S-ar putea face, de exemplu, o primă comparaţie între Pământ şi sistemul solar, o alta între sistemul solar şi Calea Lactee şi, în fine, o alta între galaxia noastră şi întreg Universul observabil. Încercăm, în cele ce urmează, prezentarea unui astfel de model.

Pornind de la datele simţurilor noastre, Pământul pare a fi o planetă foarte mare.[1] În lungul Ecuatorului, el măsoară aproape 40 000 de kilometri, fiind suficient de încăpător pentru patru sute de metropole, aşezate una lângă alta. Pentru a străbate la pas toate aceste oraşe imaginare, în diametru de 100 de kilometri fiecare, ar fi necesar un an de efort neîntrerupt sau trei ani dacă ne-am propune să mergem câte 8 ore în fiecare zi.
Comparativ cu Soarele însă, Pământul are dimensiuni foarte mici.[2] Pe bolta cerească, astrul principal nu pare să fie cu mult diferit de Lună. [În realitate însă, volumul său este suficient pentru a cuprinde un milion de planete Pământ]. Dacă în locul Soarelui ar fi aleasă o minge ceva mai mare decât cea de baschet (aprox. 250 mm în diametru), fixată într-un punct la sol, atunci Pământul ar fi mai mic decât un sâmbure de măr (2,5 mm), situat la 25 de paşi de minge. Atât de depărtat şi atât de mic este Pământul în raport cu astrul central! Însă pentru a atinge limitele sistemului solar trebuie să ne îndepărtăm mai mult de mingea de baschet, cu încă 975 de paşi. Dacă la capătul acestui parcurs aşezăm pe sol un sâmbure dintr-un mic bob de strugure, putem avea o imagine a diferenţei de mărime şi a distanţei dintre Pluto[3] şi Soare.[4]

Continuarea


17 comentarii

Geometria naturii

Istoria fractalilor nu este lungă. A început în 1975 cu lucrarea revoluţionară a matematicianului Benoit Mandelbrot, „O teorie a seriilor fractale“, care mai târziu a devenit cartea sa manifest „Geometria fractală a naturii“.

Mandelbrot a inventat cuvântul fractal pentru a reuni munca multora dinaintea lui. Matematicieni ca Waclaw Sierpinsky, David Hilbert, George Cantor şi Helge von Koch au creat primii fractali, în general ca exerciţii abstracte, fără să aibă o idee despre semnificaţia lor. Le-au identificat ca forme bizare care intrau într-o contradicţie, chiar neplăcută, cu conceptele lor despre spaţiu, suprafaţă, distanţă şi dimensiune. Pentru a unifica formele sub un singur nume, Mandelbrot a inventat cuvântul fractal, din latinescul „frangere“ care înseamnă „a sparge în fragmente neregulate“. Tot Mandelbrot nota: „deoarece cuvântul algebră derivă din cuvântul arab jabara (a lega împreună), între cuvintele fractal şi algebră este o contradicţie etimologică“.

geometria-naturii

După ce a lucrat o perioadă cu fractalii, Mandelbrot a descoperit că procesele iterative (repetitive) similare pot produce construcţi matematice abstracte cum sunt cunoscutul set Mandelbrot şi setul Julia. Ca şi alţi fractali, aceste seturi au fost descoperite cu mult înainte de Mandelbrot, dar erau atât de complexe încât necesitau calculatoare performante pentru a le studia şi observa.

Obiectul fractal poate fi desfăcut în părţi similare cu obiectul original

Şi totuşi, ce este un fractal? Cea mai simplă definiţie probabil este aceasta: repetarea la infinit şi pe mai multe straturi ierarhice a unor motive geometice sau patternuri, care au la bază un raport matematic din categoria „proporţiilor de aur“ (numărul PI 3,14, numărul lui Fibonacci, baza logaritmului natural). Obiectul fractal poate fi desfăcut în părţi care sunt fiecare similare cu obiectul original (auto-similaritate). Un fractal are o infinitate de detalii care se prezintă într-o succesiune care se repetă.

De la fractalii lui Mandelbrot la cristalele de gheaţă ale lui Fournier, la triunghiul lui Sierpinski, vasele sanguine, frunzele copacilor, aripile fluturilor, frunzele de ferigă, cochiliile melcilor, la conopidă, floarea-soarelui, dunele de nisip ale deşertului, ADN, coralii, lanţurile de coastă, ritmurile inimii, apa, chiar vântul şi muzica… totul este, de fapt, o repetare a unor motive, după un anume algoritm şi anumite reguli ce guvernează Universul.

Geometria fractală nu a pătruns numai în fizică, ci şi în medicină, climatologie, geologie, seismică, cinematografie şi chiar marketing şi economie, care toate utilizează programe de simulare fractală. Ştiaţi că există muzică fractală sau artă fractală?

Cu ajutorul simulărilor lui Mandelbrot a fost posibilă prezicerea variaţiei preţului de bursă al bumbacului, fapt care a făcut dintr-odată fractalii mult mai interesanţi.

În medicină exista aplicaţii în modelarea activităţii creierului, structurii renale, pulmonare etc.

Continuarea


2 comentarii

Creaţia, o expoziţie vernisată zilnic

Volumul datelor ştiinţifice creşte tot mai mult. Grăbiţi să (supra)vieţuiască unui cotidian din ce în ce mai extenuant, oamenii zilelor noastre nu mai au vreme să gândească cu privire la sugestiile extraordinare ale multora dintre datele ştiinţifice, la miraculoasele descoperiri despre lumea în care trăiesc. Însă, lumea vie, întreaga natură terestră şi întreg Universul sunt, pentru cei ce le cercetează, adevărate spectacole, gigantice şi copleşitoare, la dispoziţia noastră zilnic, neîncetat şi gratuit, adevărate invitaţii adresate tuturor celor ce vor să găsească în Creaţie un motiv îndeajuns de bun pentru începutul unei vieţi contemplative. Chiar şi pentru cei mai glaciali oameni de ştiinţă, lumea se dovedeşte a fi un depozit imens de surprize şocante, care trezesc interogaţii dintre cele mai profunde cu privire la sensul lumii şi la rostul nostru în ea.

aurora-in-islanda

Din nefericire, multe dintre surprizele naturii au devenit pentru mulţi dintre noi o obişnuiţă, mai înainte de a-şi fi dezvăluit podoaba. Multe dintre aceste surprinze ale naturii declanşează întrebări complexe, care depăşesc cu mult frontierele ştiinţei, solicitând reflecţia filosofică. Una dintre aceste surprize intrate prea devreme şi în mod nedrept în rândul banalităţilor cotidiene, este aceea că natura are legi consistente care suportă foarte bine haina limbajului logico-matematic. Cele mai importante legităţi din patrimoniul ştiinţelor, care descriu comportarea fonomenelor naturii, au primit expresii logico-matematice!

De ce preferă natura armoniile şi simetria

Ideea că natura fizică prezintă regularităţi este tot atât de veche precum observaţiile cu privire la ea. Nu întâmplător grecii au numit Universul cosmos. „Cosmos“ în limba vechilor greci înseamnă şi podoabă, aceeaşi rădăcină fiind utilizată încă şi astăzi, în cuvântul cosmetică. Cosmosul este frumos, asemenea unei podoabe. El a fost fascinant pentru grecii antici şi rămâne chiar şi astăzi extraordinar, oricărui admirator ce găseşte timp să privească seara bolta cerului. Plin de stele strălucitoare, cerul nopţii s-a dovedit a fi un spaţiu imens, începutul unui spectacol copleşitor, pe care astrofizica şi astronomia contemporană l-au extins până la marginile Universului. Noua generaţie de telescoape, deschisă de Telescopul Spaţial Hubble, poate scruta depărtările spaţiului cosmic, fără ca imaginile obţinute să fie stânjenite de aerul dens şi distorsionant al atmosferei terestre. Imaginile oferite de TSH sunt fascinante, arătând opere de artă gigantice, simetrii şi coloane întinse pe milioane de ani lumină, o expoziţie de dimensiuni astronomice, un spectacol gigantic şi copleşitor de galaxii şi clusteri, stele şi comete…

Încă de la începutul ştiinţelor, matematica a furnizat instrumente semnificative pentru descrierea fenomenelor naturii. Natura a dovedit că procesele şi fenomenele ei prezintă regularităţi extraordinare. Mişcarea aştrilor pe cer, ciclurile Lunii, succesiunea anotimpurilor, sistemele vii posedă fiecare adevărate pulsaţii ritmice, cu cicluri numeroase şi complexe. Nenumărate relaţii, funcţii, ecuaţii sau alte contrucţii mai complexe, descriu astăzi, cu succes, o parte semnificativă din diversitatea copleşitoare a fenomenelor fizice, de la dinamica unui fenomen atmosferic, până la înmulţirea unei populaţii de rozătoare într-un biosistem dat. Practic, tot ceea ce a descris în mod semnificativ ştiinţa ultimelor secole, tot ceea ce ea a scos la iveală despre dinamica fenomenelor naturii a fost descris, în cea mai mare parte prin matematică.

Galilei era convins că numai prin intermediul matematicii, ca limbaj descriptiv al fenomenelor naturii, noi oamenii reuşim să pătrundem tainele Universului. „Filosofia, scria el, e scrisă în această mare carte – mă refer la Univers – care e mereu deschisă în faţa privirii noastre, dar nu poate fi pricepută decât dacă învăţăm să înţelegem mai întâi limba şi să interpretăm literele în care este scrisă. Ea e scrisă în limba matematicii, iar literele ei sunt triunghiurile, cercurile şi alte figuri geometrice, fără de care e cu neputinţă să înţelegi fie şi un cuvânt de-al ei; fără ele rătăcim printr-un labirint întunecat“.

Continuarea


Lasă un comentariu

Frumuseţea creaţiei deschide ştiinţa spre orizontul teologiei

cristale-apaCoborârea în abisurile materiei, scrutarea universului tot mai departe, către marginile lui, dar şi ordinea şi armoniile ce însoţesc viaţa fiecărui organism viu din mediul înconjurător, toate dezvăluie legături profunde între cele două teritorii vaste ale lumii, micro- şi macrocosmos. Pe de o parte, limbajul matematic folosit în teoriile ce descriu micro- şi macrocosmosul arată că teoriile ştiinţifice ce descriu aceste două tărâmuri ale lumii converg şi trasează conturul unui tablou unic, care le cuprinde tot mai bine pe amândouă.

Pe de altă parte, şi spiritul creator al omului se potriveşte cu lumea înconjurătoare, pentru că natura se dovedeşte tot mai mult că este „gata pregătită“ pentru el, ca un vast atelier de creaţie în care sunt aşezate puteri şi structuri pe care omul le poate înţelege şi folosi pentru plasticizarea intenţiilor lui creatoare. În aspectele cele mai intime ale realităţii, în imensitatea universului, dar şi în cele aflate la îndemâna simţurilor lui, omul descoperă tot mai mult frumuseţea lumii, în forma diverselor simetrii, care sunt în acelaşi timp şi indiciile care leagă strâns micro- şi macrocosmosul.

Însă frumuseţea şi unitatea lumii, scoase la iveală de ştiinţă, cer un sens mai înalt, care să cuprindă şi pe om, şi viaţa lui în lume, şi frumuseţea virtuţilor pe care el le poate cultiva.

Legături ascunse între micro- şi macrocosmos

În ultimul secol, o serie întreagă de descoperiri din micro şi macrocosmos au arătat că cele două teritorii ale realităţii au numeroase legături. Proprietăţile ce caracterizează structurile cele mai intime ale lumii fizice corespund altora, care ţin de dimensiunile ei cele mai mari. Gravitaţia, care se întinde până la marginile Universului, strânge materia şi gazul din galaxii în aştri, iar forţa tare, care nu depăşeşte niciodată marginile unui nucleu, face stelele să strălucească, sintetizând noi „materiale“, pentru diversitatea chimică a lumii. Atomii sunt aşezaţi în edificii moleculare de o altă interacţiune, cea electromagnetică, formând structurile lumii fizice, formele, culorile şi texturile care dau diversitate naturii înconjurătoare şi care asigură „suportul“ vieţii. În fine, în ambientul terestru, organismele vii dovedesc o compatibilitate extraordinară cu acest mediu dinamic şi extrem de complex de factori fizici.

Unitatea lumii se dezvăluie deodată cu frumuseţea şi raţionalitatea ei

Din perspectivă teologică, este semnificativ că amprenta unităţii lumii fizice se descoperă deodată cu diversele simetrii ascunse în lucruri, în legi şi în constituienţii elementari ai materiei. Aceasta înseamnă că semnele unităţii lumii fizice sunt împletite ascuns în frumoasa ei alcătuire, prin structura diverselor puteri şi proprietăţi ce sunt puse împreună. Mai mult chiar, frumuseţea lumii este atât de strâns legată de raţionalitatea şi unitatea ei, încât cercetătorii şi-au croit pur şi simplu ipotezele de lucru după principii de-a dreptul estetice! Strategia lor de a găsi descrieri cât mai cuprinzătoare pentru lumea fizică a fost aleasă plecând de la premisa că rezultatele trebuie să fie caracterizate de frumuseţe. Iar alegerea lor a dat roade. Fiecare teorie fizică posedă, în felul ei, un anumit fel de frumuseţe, crescând tot mai mult convingerea oamenilor de ştiinţă că există o „simetrie finală“, o „simplitate finală“ a tuturor legilor fundamentale după care se comportă universul1. Ei bine, este semnificativ faptul că, în mod aproape inevitabil, „conceptele care au triumfat“ au fost tocmai acelea care s-au remarcat prin „farmecul lor estetic“ 2.

Mergând mai departe pe acest drum, principiile de simetrie a căror cuprindere a fost dovedită deja în mai multe rânduri pot deveni, potrivit lui Steven Weinberg, chiar mai mult decât atât – „o anticipare, o premoniţie a frumuseţii teoriei finale“. În orice caz, spune el, o teorie finală nu ar fi acceptată dacă nu ar fi frumoasă 3. Din acest punct de vedere, cunoaşterea lumii înconjurătoare ar putea fi privită ca o explorare neobosită în căutarea frumuseţii ultime, a semnului unităţii lumii fizice, strădania cuprinderii ei într-o teorie care să o exprime întru totul. În acest fel, istoria ştiinţei pare să fie istoria căutării unor „concepte atotcuprinzătoare, unificatoare“.

Continuarea


Un comentariu

Pot maşinile să gândească?

prof. univ. dr. ing. Stefan TRAUSAN-MATUAcum aproape 60 de ani, matematicianul Alan Turing, profesor la Cambridge, cel care a imaginat modelul matematic („maşina Turing“) care stă la baza calculatoarelor electronice pe care toţi le folosim acum, îşi punea într-un celebru articol întrebarea: „Pot maşinile să gândească?“ El înţelegea prin „maşini“ calculatoarele care începuseră să fie fabricate cu câţiva ani mai înainte şi prevedea că până în anul 2000 se va scrie un program de calculator care va putea să gândească, să fie inteligent.

Mai mult, Turing încerca să răspundă diverselor obiecţii posibile care s-ar putea ridica contra afirmaţiei sale, inclusiv obiecţiei teologice că doar omul poate gândi, poate fi inteligent, deoarece are un suflet nemuritor dat de Dumnezeu. Cea mai importantă contribuţie a acestui articol este însă introducerea testului care îi poartă de atunci numele. Testul Turing a fost unanim acceptat ca modalitatea de a verifica dacă s-a reuşit să se obţină un program de calculator care are o inteligenţă artificială. Acest test constă în verificarea dacă programul poate dialoga în limbajul natural uman, astfel încât, dacă nu vedem interlocutorul, să nu ne putem da seama că vorbim cu o maşină şi nu cu un om.

Realitatea este că, deşi există un mare premiu care se acordă celui care va face un program care să treacă testul Turing, un astfel de program nu s-a realizat. Deşi s-au depus eforturi imense de realizare de programe care să traducă automat, să înţeleagă textele sau să dialogheze, deşi s-a realizat extraordinarul Google, care ne dă aproape instantaneu o mulţime de texte care conţin unul sau mai multe cuvinte pe care i le-am specificat, este foarte departe momentul (şi s-ar putea să nu fie atins vreodată…) în care un program de calculator să dialogheze cu noi ca un om inteligent, nu ca un automat. Interesant este că cei câţiva zeci de ani de cercetări intense în domeniul inteligenţei artificiale au evidenţiat că inteligenţa umană, mintea umană, este mult mai complexă decât se bănuia, că au încă dimensiuni care scapă unor analize ştiinţifice şi unor încercări de modelare şi simulare pe calculator.

Problema înţelegerii limbajului natural folosit de om nu poate fi prinsă total în formule logico-matematice. Posibilitatea noastră de a ne înţelege prin dialog presupune şi nişte caracteristici specific umane, presupune a avea empatie, a putea să te „pui în pielea“ celui cu care vorbeşti, a avea experienţa trăirii, cum spunea şi Heidegger, a avea un corp şi simţuri. De exemplu, continuând în spiritul lui Heidegger, pentru a înţelege conceptul de scaun este necesar să înţelegem conceptul de a sta, de „şedere“, nu este suficient să ne limităm la a găsi câteva concepte componente (de exemplu, picioare, spătar etc.), atribute şi relaţii care să poată fi descrise într-un formalism logic, deoarece, de exemplu, s-ar putea să scăpăm din vedere cazuri de scaune mai non-conformiste (de exemplu, care nu au picioare sau spătar). O maşină ar putea să înveţe un număr imens de scaune, dar nu va putea crea un scaun cu o concepţie total nouă, care să fie bun pentru a şedea, dar care să nu poată obţinut prin deducţie logică din descrierile scaunelor învăţate.

Continuarea


2 comentarii

Armonia ascunsă a universului şi înţelegerea umană

galaxie_0De fiecare dată când este adusă în discuţie explorarea lumii înconjurătoare, un fapt uimitor merită menţionat: inteligibilitatea naturii. Colecţiile datelor ştiinţifice, strânse de-a lungul secolelor în arii precum biologia sau astronomia, chimia sau fizica, au fost posibile doar în condiţiile în care realitatea înconjurătoare conţine structuri şi tipare de ordine care pot fi codificate matematic. Ştiinţele naturii se nasc tocmai în exerciţiul acesta de sesizare, în regularităţile fenomenelor fizice din natura înconjurătoare, a unor anumite tipare descriptibile în limbajul matematic, pe care le numim legi ale lumii fizice.

În prelungirea ştiinţelor, urmează ingineria. Proprietăţile materiei şi datele despre dinamica forţelor fizice pot fi folosite în realizările inginereşti. Privită astfel, civilizaţia se dovedeşte a fi natură adaptată vieţii omeneşti, stăpânire şi prelungire a proceselor şi mecanismelor naturii, puse de om în slujba vieţii personale şi comunitare. Realizările omeneşti, producţiile inginereşti, toate celelalte artefacte sunt puneri în scenă ale naturii, cultură tehnică dezvoltată pe seama naturii.

Însă nu doar natura înconjurătoare este inteligibilă. Şi structurile cosmice, şi dinamica întregului Univers pot fi înţelese. Ne-am obişnuit cu acest miracol, dar asta nu îl face nicidecum mai mic: corpuri cereşti imense, structuri galactice ale căror dimensiuni inimaginabile, procese violente şi ample, în care explodează stele şi se nasc galaxii, fiecare în parte îşi dezvăluie dinamica şi structura, putând fi descrise de matematică, într-un mod neaşteptat de precis.

Universul – un computer gigantic

Cerul ne-a obişnuit cu transparenţa lui. Cosmologii cunosc astăzi universul datorită luminii. Cu alt prilej am făcut mai multe menţiuni privind faptul că mai toate descoperirile astrofizicii şi cosmologiei, precum şi o listă întreagă de rezultate celebre din fizică, din aria mecanicii cuantice, din Relativitatea Restrânsă şi Generală au fost posibile prin intermediul luminii1.

Prin cumularea acestor rezultate, a fost posibilă conturarea unui model cosmologic, care afirmă că universul întreg seamănă cu un calculator. Fiecare fenomen sau proces fizic are configuraţia unei procesări de informaţie. Obiectele fizice stochează, prelucrează şi emit informaţie, consumând diverse forme de energie, încât întreaga istorie a universului poate fi privită ca un flux neîntrerupt de informaţii2.

Are relevanţă o astfel de înţelegere a Universului, din perspectivă creştină? Raţionalitatea creaţiei şi înţelesurile ei dezvoltate în teologia răsăriteană prezintă convergenţe semnificative. În Ambigua, cu siguranţă locul cel mai elaborat al acestei abordări, Sfântul Maxim Mărturisitorul afirmă că lumea e o carte în care corpurile, cu proprietăţile lor, sunt un fel de litere şi silabe „sensibile“, iar calităţile lor generale comune, un fel de cuvinte „sensibile“, care solicită cugetarea omenească pentru a le sesiza şi înţelege. Ei bine, aşa cum subliniază în mod repetat şi părintele Dumitru Stăniloae, toate aceste silabe şi cuvinte sensibile sunt expresia unui unic Cuvânt prezent în toate, care fac cunoscută existenţa Lui.

Continuarea

Urmărește

Fiecare nou articol să fie livrat pe email.

Alături de 139 de alți urmăritori