Geometria naturii

Istoria fractalilor nu este lungă. A început în 1975 cu lucrarea revoluţionară a matematicianului Benoit Mandelbrot, „O teorie a seriilor fractale“, care mai târziu a devenit cartea sa manifest „Geometria fractală a naturii“.

Mandelbrot a inventat cuvântul fractal pentru a reuni munca multora dinaintea lui. Matematicieni ca Waclaw Sierpinsky, David Hilbert, George Cantor şi Helge von Koch au creat primii fractali, în general ca exerciţii abstracte, fără să aibă o idee despre semnificaţia lor. Le-au identificat ca forme bizare care intrau într-o contradicţie, chiar neplăcută, cu conceptele lor despre spaţiu, suprafaţă, distanţă şi dimensiune. Pentru a unifica formele sub un singur nume, Mandelbrot a inventat cuvântul fractal, din latinescul „frangere“ care înseamnă „a sparge în fragmente neregulate“. Tot Mandelbrot nota: „deoarece cuvântul algebră derivă din cuvântul arab jabara (a lega împreună), între cuvintele fractal şi algebră este o contradicţie etimologică“.

După ce a lucrat o perioadă cu fractalii, Mandelbrot a descoperit că procesele iterative (repetitive) similare pot produce construcţi matematice abstracte cum sunt cunoscutul set Mandelbrot şi setul Julia. Ca şi alţi fractali, aceste seturi au fost descoperite cu mult înainte de Mandelbrot, dar erau atât de complexe încât necesitau calculatoare performante pentru a le studia şi observa.

Obiectul fractal poate fi desfăcut în părţi similare cu obiectul original

Şi totuşi, ce este un fractal? Cea mai simplă definiţie probabil este aceasta: repetarea la infinit şi pe mai multe straturi ierarhice a unor motive geometice sau patternuri, care au la bază un raport matematic din categoria „proporţiilor de aur“ (numărul PI 3,14, numărul lui Fibonacci, baza logaritmului natural). Obiectul fractal poate fi desfăcut în părţi care sunt fiecare similare cu obiectul original (auto-similaritate). Un fractal are o infinitate de detalii care se prezintă într-o succesiune care se repetă.

De la fractalii lui Mandelbrot la cristalele de gheaţă ale lui Fournier, la triunghiul lui Sierpinski, vasele sanguine, frunzele copacilor, aripile fluturilor, frunzele de ferigă, cochiliile melcilor, la conopidă, floarea-soarelui, dunele de nisip ale deşertului, ADN, coralii, lanţurile de coastă, ritmurile inimii, apa, chiar vântul şi muzica… totul este, de fapt, o repetare a unor motive, după un anume algoritm şi anumite reguli ce guvernează Universul.

Geometria fractală nu a pătruns numai în fizică, ci şi în medicină, climatologie, geologie, seismică, cinematografie şi chiar marketing şi economie, care toate utilizează programe de simulare fractală. Ştiaţi că există muzică fractală sau artă fractală?

Cu ajutorul simulărilor lui Mandelbrot a fost posibilă prezicerea variaţiei preţului de bursă al bumbacului, fapt care a făcut dintr-odată fractalii mult mai interesanţi.

În medicină exista aplicaţii în modelarea activităţii creierului, structurii renale, pulmonare etc.

Publicitate

Creaţia, o expoziţie vernisată zilnic

Volumul datelor ştiinţifice creşte tot mai mult. Grăbiţi să (supra)vieţuiască unui cotidian din ce în ce mai extenuant, oamenii zilelor noastre nu mai au vreme să gândească cu privire la sugestiile extraordinare ale multora dintre datele ştiinţifice, la miraculoasele descoperiri despre lumea în care trăiesc. Însă, lumea vie, întreaga natură terestră şi întreg Universul sunt, pentru cei ce le cercetează, adevărate spectacole, gigantice şi copleşitoare, la dispoziţia noastră zilnic, neîncetat şi gratuit, adevărate invitaţii adresate tuturor celor ce vor să găsească în Creaţie un motiv îndeajuns de bun pentru începutul unei vieţi contemplative. Chiar şi pentru cei mai glaciali oameni de ştiinţă, lumea se dovedeşte a fi un depozit imens de surprize şocante, care trezesc interogaţii dintre cele mai profunde cu privire la sensul lumii şi la rostul nostru în ea.

Din nefericire, multe dintre surprizele naturii au devenit pentru mulţi dintre noi o obişnuiţă, mai înainte de a-şi fi dezvăluit podoaba. Multe dintre aceste surprinze ale naturii declanşează întrebări complexe, care depăşesc cu mult frontierele ştiinţei, solicitând reflecţia filosofică. Una dintre aceste surprize intrate prea devreme şi în mod nedrept în rândul banalităţilor cotidiene, este aceea că natura are legi consistente care suportă foarte bine haina limbajului logico-matematic. Cele mai importante legităţi din patrimoniul ştiinţelor, care descriu comportarea fonomenelor naturii, au primit expresii logico-matematice!

De ce preferă natura armoniile şi simetria

Ideea că natura fizică prezintă regularităţi este tot atât de veche precum observaţiile cu privire la ea. Nu întâmplător grecii au numit Universul cosmos. „Cosmos“ în limba vechilor greci înseamnă şi podoabă, aceeaşi rădăcină fiind utilizată încă şi astăzi, în cuvântul cosmetică. Cosmosul este frumos, asemenea unei podoabe. El a fost fascinant pentru grecii antici şi rămâne chiar şi astăzi extraordinar, oricărui admirator ce găseşte timp să privească seara bolta cerului. Plin de stele strălucitoare, cerul nopţii s-a dovedit a fi un spaţiu imens, începutul unui spectacol copleşitor, pe care astrofizica şi astronomia contemporană l-au extins până la marginile Universului. Noua generaţie de telescoape, deschisă de Telescopul Spaţial Hubble, poate scruta depărtările spaţiului cosmic, fără ca imaginile obţinute să fie stânjenite de aerul dens şi distorsionant al atmosferei terestre. Imaginile oferite de TSH sunt fascinante, arătând opere de artă gigantice, simetrii şi coloane întinse pe milioane de ani lumină, o expoziţie de dimensiuni astronomice, un spectacol gigantic şi copleşitor de galaxii şi clusteri, stele şi comete…

Încă de la începutul ştiinţelor, matematica a furnizat instrumente semnificative pentru descrierea fenomenelor naturii. Natura a dovedit că procesele şi fenomenele ei prezintă regularităţi extraordinare. Mişcarea aştrilor pe cer, ciclurile Lunii, succesiunea anotimpurilor, sistemele vii posedă fiecare adevărate pulsaţii ritmice, cu cicluri numeroase şi complexe. Nenumărate relaţii, funcţii, ecuaţii sau alte contrucţii mai complexe, descriu astăzi, cu succes, o parte semnificativă din diversitatea copleşitoare a fenomenelor fizice, de la dinamica unui fenomen atmosferic, până la înmulţirea unei populaţii de rozătoare într-un biosistem dat. Practic, tot ceea ce a descris în mod semnificativ ştiinţa ultimelor secole, tot ceea ce ea a scos la iveală despre dinamica fenomenelor naturii a fost descris, în cea mai mare parte prin matematică.

Galilei era convins că numai prin intermediul matematicii, ca limbaj descriptiv al fenomenelor naturii, noi oamenii reuşim să pătrundem tainele Universului. „Filosofia, scria el, e scrisă în această mare carte – mă refer la Univers – care e mereu deschisă în faţa privirii noastre, dar nu poate fi pricepută decât dacă învăţăm să înţelegem mai întâi limba şi să interpretăm literele în care este scrisă. Ea e scrisă în limba matematicii, iar literele ei sunt triunghiurile, cercurile şi alte figuri geometrice, fără de care e cu neputinţă să înţelegi fie şi un cuvânt de-al ei; fără ele rătăcim printr-un labirint întunecat“.

Frumuseţea creaţiei deschide ştiinţa spre orizontul teologiei

Coborârea în abisurile materiei, scrutarea universului tot mai departe, către marginile lui, dar şi ordinea şi armoniile ce însoţesc viaţa fiecărui organism viu din mediul înconjurător, toate dezvăluie legături profunde între cele două teritorii vaste ale lumii, micro- şi macrocosmos. Pe de o parte, limbajul matematic folosit în teoriile ce descriu micro- şi macrocosmosul arată că teoriile ştiinţifice ce descriu aceste două tărâmuri ale lumii converg şi trasează conturul unui tablou unic, care le cuprinde tot mai bine pe amândouă.

Pe de altă parte, şi spiritul creator al omului se potriveşte cu lumea înconjurătoare, pentru că natura se dovedeşte tot mai mult că este „gata pregătită“ pentru el, ca un vast atelier de creaţie în care sunt aşezate puteri şi structuri pe care omul le poate înţelege şi folosi pentru plasticizarea intenţiilor lui creatoare. În aspectele cele mai intime ale realităţii, în imensitatea universului, dar şi în cele aflate la îndemâna simţurilor lui, omul descoperă tot mai mult frumuseţea lumii, în forma diverselor simetrii, care sunt în acelaşi timp şi indiciile care leagă strâns micro- şi macrocosmosul.

Însă frumuseţea şi unitatea lumii, scoase la iveală de ştiinţă, cer un sens mai înalt, care să cuprindă şi pe om, şi viaţa lui în lume, şi frumuseţea virtuţilor pe care el le poate cultiva.

Legături ascunse între micro- şi macrocosmos

În ultimul secol, o serie întreagă de descoperiri din micro şi macrocosmos au arătat că cele două teritorii ale realităţii au numeroase legături. Proprietăţile ce caracterizează structurile cele mai intime ale lumii fizice corespund altora, care ţin de dimensiunile ei cele mai mari. Gravitaţia, care se întinde până la marginile Universului, strânge materia şi gazul din galaxii în aştri, iar forţa tare, care nu depăşeşte niciodată marginile unui nucleu, face stelele să strălucească, sintetizând noi „materiale“, pentru diversitatea chimică a lumii. Atomii sunt aşezaţi în edificii moleculare de o altă interacţiune, cea electromagnetică, formând structurile lumii fizice, formele, culorile şi texturile care dau diversitate naturii înconjurătoare şi care asigură „suportul“ vieţii. În fine, în ambientul terestru, organismele vii dovedesc o compatibilitate extraordinară cu acest mediu dinamic şi extrem de complex de factori fizici.

Unitatea lumii se dezvăluie deodată cu frumuseţea şi raţionalitatea ei

Din perspectivă teologică, este semnificativ că amprenta unităţii lumii fizice se descoperă deodată cu diversele simetrii ascunse în lucruri, în legi şi în constituienţii elementari ai materiei. Aceasta înseamnă că semnele unităţii lumii fizice sunt împletite ascuns în frumoasa ei alcătuire, prin structura diverselor puteri şi proprietăţi ce sunt puse împreună. Mai mult chiar, frumuseţea lumii este atât de strâns legată de raţionalitatea şi unitatea ei, încât cercetătorii şi-au croit pur şi simplu ipotezele de lucru după principii de-a dreptul estetice! Strategia lor de a găsi descrieri cât mai cuprinzătoare pentru lumea fizică a fost aleasă plecând de la premisa că rezultatele trebuie să fie caracterizate de frumuseţe. Iar alegerea lor a dat roade. Fiecare teorie fizică posedă, în felul ei, un anumit fel de frumuseţe, crescând tot mai mult convingerea oamenilor de ştiinţă că există o „simetrie finală“, o „simplitate finală“ a tuturor legilor fundamentale după care se comportă universul1. Ei bine, este semnificativ faptul că, în mod aproape inevitabil, „conceptele care au triumfat“ au fost tocmai acelea care s-au remarcat prin „farmecul lor estetic“ 2.

Mergând mai departe pe acest drum, principiile de simetrie a căror cuprindere a fost dovedită deja în mai multe rânduri pot deveni, potrivit lui Steven Weinberg, chiar mai mult decât atât – „o anticipare, o premoniţie a frumuseţii teoriei finale“. În orice caz, spune el, o teorie finală nu ar fi acceptată dacă nu ar fi frumoasă 3. Din acest punct de vedere, cunoaşterea lumii înconjurătoare ar putea fi privită ca o explorare neobosită în căutarea frumuseţii ultime, a semnului unităţii lumii fizice, strădania cuprinderii ei într-o teorie care să o exprime întru totul. În acest fel, istoria ştiinţei pare să fie istoria căutării unor „concepte atotcuprinzătoare, unificatoare“.

Pot maşinile să gândească?

Acum aproape 60 de ani, matematicianul Alan Turing, profesor la Cambridge, cel care a imaginat modelul matematic („maşina Turing“) care stă la baza calculatoarelor electronice pe care toţi le folosim acum, îşi punea într-un celebru articol întrebarea: „Pot maşinile să gândească?“ El înţelegea prin „maşini“ calculatoarele care începuseră să fie fabricate cu câţiva ani mai înainte şi prevedea că până în anul 2000 se va scrie un program de calculator care va putea să gândească, să fie inteligent.

Mai mult, Turing încerca să răspundă diverselor obiecţii posibile care s-ar putea ridica contra afirmaţiei sale, inclusiv obiecţiei teologice că doar omul poate gândi, poate fi inteligent, deoarece are un suflet nemuritor dat de Dumnezeu. Cea mai importantă contribuţie a acestui articol este însă introducerea testului care îi poartă de atunci numele. Testul Turing a fost unanim acceptat ca modalitatea de a verifica dacă s-a reuşit să se obţină un program de calculator care are o inteligenţă artificială. Acest test constă în verificarea dacă programul poate dialoga în limbajul natural uman, astfel încât, dacă nu vedem interlocutorul, să nu ne putem da seama că vorbim cu o maşină şi nu cu un om.

Realitatea este că, deşi există un mare premiu care se acordă celui care va face un program care să treacă testul Turing, un astfel de program nu s-a realizat. Deşi s-au depus eforturi imense de realizare de programe care să traducă automat, să înţeleagă textele sau să dialogheze, deşi s-a realizat extraordinarul Google, care ne dă aproape instantaneu o mulţime de texte care conţin unul sau mai multe cuvinte pe care i le-am specificat, este foarte departe momentul (şi s-ar putea să nu fie atins vreodată…) în care un program de calculator să dialogheze cu noi ca un om inteligent, nu ca un automat. Interesant este că cei câţiva zeci de ani de cercetări intense în domeniul inteligenţei artificiale au evidenţiat că inteligenţa umană, mintea umană, este mult mai complexă decât se bănuia, că au încă dimensiuni care scapă unor analize ştiinţifice şi unor încercări de modelare şi simulare pe calculator.

Problema înţelegerii limbajului natural folosit de om nu poate fi prinsă total în formule logico-matematice. Posibilitatea noastră de a ne înţelege prin dialog presupune şi nişte caracteristici specific umane, presupune a avea empatie, a putea să te „pui în pielea“ celui cu care vorbeşti, a avea experienţa trăirii, cum spunea şi Heidegger, a avea un corp şi simţuri. De exemplu, continuând în spiritul lui Heidegger, pentru a înţelege conceptul de scaun este necesar să înţelegem conceptul de a sta, de „şedere“, nu este suficient să ne limităm la a găsi câteva concepte componente (de exemplu, picioare, spătar etc.), atribute şi relaţii care să poată fi descrise într-un formalism logic, deoarece, de exemplu, s-ar putea să scăpăm din vedere cazuri de scaune mai non-conformiste (de exemplu, care nu au picioare sau spătar). O maşină ar putea să înveţe un număr imens de scaune, dar nu va putea crea un scaun cu o concepţie total nouă, care să fie bun pentru a şedea, dar care să nu poată obţinut prin deducţie logică din descrierile scaunelor învăţate.

Armonia ascunsă a universului şi înţelegerea umană

De fiecare dată când este adusă în discuţie explorarea lumii înconjurătoare, un fapt uimitor merită menţionat: inteligibilitatea naturii. Colecţiile datelor ştiinţifice, strânse de-a lungul secolelor în arii precum biologia sau astronomia, chimia sau fizica, au fost posibile doar în condiţiile în care realitatea înconjurătoare conţine structuri şi tipare de ordine care pot fi codificate matematic. Ştiinţele naturii se nasc tocmai în exerciţiul acesta de sesizare, în regularităţile fenomenelor fizice din natura înconjurătoare, a unor anumite tipare descriptibile în limbajul matematic, pe care le numim legi ale lumii fizice.

În prelungirea ştiinţelor, urmează ingineria. Proprietăţile materiei şi datele despre dinamica forţelor fizice pot fi folosite în realizările inginereşti. Privită astfel, civilizaţia se dovedeşte a fi natură adaptată vieţii omeneşti, stăpânire şi prelungire a proceselor şi mecanismelor naturii, puse de om în slujba vieţii personale şi comunitare. Realizările omeneşti, producţiile inginereşti, toate celelalte artefacte sunt puneri în scenă ale naturii, cultură tehnică dezvoltată pe seama naturii.

Însă nu doar natura înconjurătoare este inteligibilă. Şi structurile cosmice, şi dinamica întregului Univers pot fi înţelese. Ne-am obişnuit cu acest miracol, dar asta nu îl face nicidecum mai mic: corpuri cereşti imense, structuri galactice ale căror dimensiuni inimaginabile, procese violente şi ample, în care explodează stele şi se nasc galaxii, fiecare în parte îşi dezvăluie dinamica şi structura, putând fi descrise de matematică, într-un mod neaşteptat de precis.

Universul – un computer gigantic

Cerul ne-a obişnuit cu transparenţa lui. Cosmologii cunosc astăzi universul datorită luminii. Cu alt prilej am făcut mai multe menţiuni privind faptul că mai toate descoperirile astrofizicii şi cosmologiei, precum şi o listă întreagă de rezultate celebre din fizică, din aria mecanicii cuantice, din Relativitatea Restrânsă şi Generală au fost posibile prin intermediul luminii1.

Prin cumularea acestor rezultate, a fost posibilă conturarea unui model cosmologic, care afirmă că universul întreg seamănă cu un calculator. Fiecare fenomen sau proces fizic are configuraţia unei procesări de informaţie. Obiectele fizice stochează, prelucrează şi emit informaţie, consumând diverse forme de energie, încât întreaga istorie a universului poate fi privită ca un flux neîntrerupt de informaţii2.

Are relevanţă o astfel de înţelegere a Universului, din perspectivă creştină? Raţionalitatea creaţiei şi înţelesurile ei dezvoltate în teologia răsăriteană prezintă convergenţe semnificative. În Ambigua, cu siguranţă locul cel mai elaborat al acestei abordări, Sfântul Maxim Mărturisitorul afirmă că lumea e o carte în care corpurile, cu proprietăţile lor, sunt un fel de litere şi silabe „sensibile“, iar calităţile lor generale comune, un fel de cuvinte „sensibile“, care solicită cugetarea omenească pentru a le sesiza şi înţelege. Ei bine, aşa cum subliniază în mod repetat şi părintele Dumitru Stăniloae, toate aceste silabe şi cuvinte sensibile sunt expresia unui unic Cuvânt prezent în toate, care fac cunoscută existenţa Lui.

Cum se explică întâlnirea fertilă dintre gândirea matematică a omului şi tiparele lumii fizice?

Chiar în miezul preocupărilor ştiinţifice, ce urmăresc să descrie cât mai precis modul cum se petrec fenomenele fizice ale lumii înconjurătoare, se ascunde una dintre cele mai tulburătoare întrebări ale ştiinţei! Cum se explică întâlnirea fertilă dintre gândirea matematică a omului şi tiparele lumii fizice? O astfel de întrebare are rost, pentru că şi mintea omului, prin matematica ei, strâns legată de gândire, şi natura înconjurătoare, prin ordinea şi armoniile ei, par să vorbească aceeaşi limbă!

Întrebarea este cu atât mai stringentă, dacă ne gândim că judecăţile şi conceptele matematice sunt obiecte ale minţii omeneşti, create în hotarele ei lăuntrice, în vreme ce toate celelalte realităţi concrete, descrise atât de precis de matematică, se află în ambientul înconjurător, aşadar în afară.

Deci, chiar dacă nu vedem tot ceea ce ne înconjoară, cu rezoluţie infinită, chiar dacă nu sesizăm întru totul fenomenele fizice şi părţile lor, putem totuşi dezvolta raţionamente şi instrumentar matematic capabile să descrie o parte importantă din lumea situată dincolo de simţuri. Se dezvăluie cumva că matematica reprezintă un pod ce prelungeşte sensibilitatea simţurilor, un fel de putere de sesizare interioară, o vedere a minţii capabilă să surprindă ceea ce ochii nu pot vedea, ceea ce simţurile nu mai pot sesiza.

Ei bine, calea aceasta a matematicienilor, către surprinderea realităţii fizice, se dovedeşte, aşa cum spun cercetătorii, uimitor de eficientă! Chiar dacă, de multe ori, pe drumul descrierii naturii, ei nu mai sunt călăuziţi de simţuri. Încredinţarea privind veridicitatea celor descoperite vine, în aceste cazuri, şi din interior, din cuprinsul demonstraţiilor şi calculelor! Verificarea directă, prin simţuri, nu mai e un criteriu indispensabil al ştiinţei! (Situaţia aceasta aminteşte de episodul evanghelic al cărui protagosnist a fost Sfântul Apostol Toma. S-a încetăţenit, cumva, în forma unui principiu, verificarea directă a oricărui eveniment pentru a fi sigur că el s-a petrecut întocmai. Până nu văd, nu cred!)

Matematica dezvăluie mai mult din frumuseţea lumii

Ajungem, astfel, în miezul problemei. Fără să fie înzestrată cu vreun ochi în stare să sesizeze fiziologic realitatea concretă, matematica minţii vede totuşi, adesea cu o precizie mult mai mare, în substraturile adânci ale microcosmosului şi în fundalul îndepărtat al universului! Mintea ajunge să vadă ceea ce ochii fizici nici măcar nu întrezăresc, în micro sau în macrocosmos, identificând structuri ascunse, de existenţa cărora nu am fi în nici un fel înştiinţaţi.

În situaţii ca acestea întrezărim că omul nu e o fiinţă destinată să se mărginească la simţurile trupului său. Viaţa lui nu e limitată implacabil la funcţionalitate biologică. Mintea ajunge să corecteze şi să completeze ceea ce ochii trupeşti nu văd. Cugetul omului, îmbogăţit de lucrarea adecvată a judecăţilor lui, poate adăuga, lângă sau peste ceea ce vedem şi simţim, altceva nou, care nu poate fi văzut, ascuns în realitate, care nu poate fi receptat prin simţuri în nici un fel.

S-ar putea spune că puteri spirituale dinlăuntrul fiinţei omeneşti împing existenţa dincolo de planul sensibil, dincolo de marginile trupului şi de simţurile lui, către un mod de viaţă mai înalt. Omul nu este pândit doar de pericolul de a rămâne cantonat în lumea sensibilă, prin simţuri. El este, în acelaşi timp, chemat şi capabil să caute rădăcinile realităţii, existenţele ascunse, înţelesurile preţioase şi discrete, depozitate în adânc.

Şi, în felul acesta, pe lângă numeroasele frumuseţi, simetrii şi armonii din natură şi din cosmos, sesizate în fiecare zi, matematica a dezvăluit alte simetrii şi modele complexe ascunse. Prin aceasta, frumuseţea şi taina lumii au sporit. Mai mult chiar, o serie întreagă de tehnologii au verificat veridicitatea descrierilor matematice. Practic, pe baza lor, inginerii au înfăptuit construcţii şi mecanisme care au pus în lucrare puterile lumii fizice. Ei au demonstrat, de fapt, că descrierea matematică a unui fenomen dezvăluie şi o parte din secretul utilizării lui concrete, felul în care poate fi pus în slujba omului.

Situaţii de acest fel au făcut posibile ştiinţa şi tehnica, civilizaţia cu toate ale lor, şi, important în discuţia aceasta, toate se întemeiază pe întâlnirea fertilă, surprinzătoare, dintre om şi lume, dintre matematica minţii omeneşti şi ordinea fizică din natura înconjurătoare.

Interviu cu părintele Ieremia de la Putna, doctor în matematică la Universitatea Berkeley din California, SUA

Matematica şi viaţa în Hristos pot părea multora fără nici o legătură una cu alta. Pentru părintele Ieremia de la Putna, cu un doctorat în matematică dat în SUA, la Berkeley, această lipsă de legătură este doar aparentă. Este ca şi cum două curbe nu se intersectează deloc în planul real –, cel al privirii superficiale, al prejudecăţii, al ignoranţei –, dar au o multitudine de intersecţii în planul complex – cel al realităţii adevărate, profunde. Interviul de mai jos e o scurtă pledoarie la studiu şi seriozitate în viaţa duhovnicească.

Părinte Ieremia, cum a venit pasiunea pentru matematică?

Mi-a plăcut matematica din primii ani de şcoală, deşi în familia mea nu a existat vreo tradiţie în acest sens. Am început să merg la olimpiade începând cu clasa a IV-a. Anii au trecut, am dat, firesc, la matematică în Bucureşti, unde am intrat fără examen de admitere, pentru că eram olimpic. Am optat pentru Secţia de cercetare. Absolvenţii de după 1989 ai acestei secţii au creat o pârtie către străinătate. S-a creat un renume că matematicienii români sunt buni. Şi, într-adevăr, au fost unii foarte buni la început, spărgătorii de gheaţă, care au plecat în America, iar noi am urmat acest drum deja bătătorit de ei. Este un proces standard de a aplica, trimiţând dosarul la mai multe universităţi din America. Am fost primit la University of California at Los Angeles (UCLA) şi la University of California at Berkeley (UC Berkeley). Am ales-o pe ultima pentru că avea un prestigiu mai mare.

După aceea mi-am dat seama că nu întâmplător am obţinut bursa la Berkeley. Acest oraş este aproape de San Francisco, unde se află biserica cu moaştele Sfântului Ioan Maximovici, despre care citisem înainte să aplic pentru America. Tot timpul cât am stat în America am mers în fiecare săptămână la acea biserică.

Ca să mă întreţin, a trebuit să predau în cadrul Departamentului de matematică.

Viaţa în SUA şi apropierea de mănăstire

V-aţi gândit încă de acolo că o să vă faceţi monah?

Într-un anumit fel, da. Viaţa trăită acolo nu a fost mult diferită de cea a unui monah. La ce mă refer? La singurătate, singurătatea pe care o întâlneşti fiind străin. În general, în America se suferă de singurătate. Producţiile lor de divertisment sunt o încercare de a umple un gol. Orice om care merge în America are un şoc, în sensul că filmele lor sunt altceva decât viaţa lor. E ca şi cum mergând printr-un deşert vezi un panou, iar în film nu vezi pustiul, ci ţi se arată numai panoul. E multă singurătate acolo, distanţele fizice sunt mari şi acestea implică distanţe enorme între oameni.

Să vă dau un exemplu. Dacă în oraşele noastre obişnuim să ieşim în oraş, să ne plimbăm prin centru, cum se spune, acolo noţiunea aceasta nu există. În centru se plimbă mai mult homeless-i (cei fără adăpost), care au ca avere doar un cărucior. Americanul nu se duce să se plimbe, el se duce cu maşina direct unde are nevoie, la cumpărături, în mall sau oriunde. În California, distanţa de acasă până la magazinul de cumpărături este în medie de 30-40 km. Acolo nu se văd oameni pe stradă, ca la noi. Singurătatea este foarte apăsătoare şi rămâne o problemă pregnantă.

Spaţialitatea lumii şi expresiile raţiunii omeneşti

Spaţiul, cu diferitele sale abordări, matematice, fizice şi filosofice, a intrat devreme în preocupările omeneşti. Tema spaţiului e reluată, în mai multe rânduri, în legătură cu universul, despre care mult timp s-a afirmat că este infinit şi etern. Originea acestei concepţii, care a marcat considerabil gândirea ştiinţifică şi filosofică a spaţiului european, se găseşte la greci (1). Potrivit unor interpreţi, o menţiune veche privind necesitatea unei întinderi care să primească, să încapă lumea, găsim la Platon.

Platon afirma despre kosmos că este supus lui genesis, afirmând că naşterea lumii ar fi fost posibilă în condiţiile unui alt fel de surse preexistente, anume spaţiul (hypodoche) – situat între fiinţă şi nefiinţă, şi care asigură locul pentru genesis (2). În diverse forme, ideea aceasta a supravieţuit unui şir lung de secole şi unor contestatari iluştri, încât o regăsim exprimată într­un fel şi la Newton: „Spaţiul absolut, considerat în natura sa fără nici o relaţie cu ceva extern, rămâne totdeauna asemenea şi imobil” şi „timpul absolut, adevărat şi matematic, în sine şi după natura sa, curge în mod egal fără nici o legătură cu ceva extern” (3). Rămâne, desigur, o sarcină considerabilă, să înţelegem deosebirile între înţelesurile spaţiului prezente în filosofia greacă din perioada Antichităţii şi cele asociate noţiunii de spaţiu în vremea lui Newton.

O alianţă secretă între spaţiul fizic şi geometria euclidiană

Chiar dacă dăm la o parte secolele Antichităţii filosofice din spaţiul grec, degrevându-le de orice posibilă contribuţie la conturarea ideii de spaţiu absolut, reprezentarea aceasta rămâne încă prezentă în spaţiul european alte câteva secole. Pe de altă parte, unele rezultate obţinute de Galilei, Descartes şi Newton, de exemplu, cu privire la instrumentarul matematic potrivit pentru descrierea fenomenelor fizice, va alimenta convingerea unei corespondenţe intime, până la echivalenţă, între spaţiul fizic şi cel euclidian. Teza susţinută de Newton, că spaţiul fizic „ascultă” de spaţiul euclidian, va avea şi oponenţi cu nume sonore în aria filosofică şi ştiinţifică. Leibniz, de exemplu, refuza să identifice spaţiul euclidian absolut cu spaţiul fizic. La rândul său, episcopul anglican Berkeley va refuza ideea spaţiului absolut, pe temeiul că ar însemna că există ceva infinit, şi absolut, în afara lui Dumnezeu. Într-un mod semnificativ, o serie de rezultate din matematică, şi mai apoi Relativitatea Restrânsă şi Relativitatea Generală definitivate de Einstein, în debutul secolului al XX-lea, vor avea un cuvânt important de spus în aceste dezbateri ştiinţifico-filosofice cu privire la spaţiul fizic.

Trei dimensiuni sunt necesare vieţii

Structura spaţiului înconjurător intră, de asemenea, în discuţie şi altfel, pe seama unor rezultate matematice, întrucât ea a făcut posibile configuraţii ale unor spaţii bi- sau multidimensionale. Dacă astfel de lumi multidimensionale pot exista în universul matematicii, ar putea indica aceasta lumi multidimensionale reale, vrednice de luat în seamă? Ei bine, unele calcule simple, corelate cu anumite rezultate din fizică, indică faptul că spaţiile bi- sau multidimensionale (având un număr de dimensiuni mai mare decât 3) interzic posibilitatea existenţei formelor vii!

Într-o lucrare monumentală, John Barrow şi Franck Tipler, Principiul Antropic Cosmologic, prezintă rezultate ce indică faptul că nici spaţiile cu mai multe dimensiuni decât 3, nici cele cu mai puţine dimensiuni nu sunt potrivite pentru existenţa unor structuri complexe. De exemplu, între caracteristicile fundamentale ale materiei, cu rol decisiv în structura edificiilor lumii sensibile, este stabilitatea elementelor chimice. Elementele chimice sunt stabile pentru că atomii lor sunt stabili, aici fiind vorba de „preferinţa” atomilor pentru un nivel de energie minim, în care electronii rămân într-o configuraţie stabilă, pe straturile cele mai apropiate de nucleu. Această stare se păstrează până la o intervenţie exterioară de natură energetică, ce depăşeşte o anumită intensitate de prag. În privinţa aceasta, calculele arată că, în situaţia unui spaţiu cu mai mult de trei dimensiuni, nu mai este posibilă existenţa acestui minim al energiei (starea fundamentală), ceea ce antrenează o mare instabilitate a materiei (4). Situaţii de acest fel se întâlnesc şi în privinţa traiectoriilor corpurilor aflate în mişcare în planul mai vast al câmpului gravitaţional. Atracţia gravitaţiei s-ar manifesta, în situaţii de acest fel, chiar şi între corpuri aflate la distanţe foarte mari (5), ceea ce ar antrena perturbaţii majore în traiectoria planetelor şi deci şi a Pământului. Ambientul terestru ar pierde, în acest fel, multe dintre avantajele ciclicităţii simple oferite de traiectoria eliptică.

Limbajul matematic şi lumea înconjurătoare. Muzica vieții.

La prima vedere, matematica nu pare să aibă o legătură directă cu viaţa. Între ştiinţele cu care ne-am obişnuit, matematica pare a fi domeniul cel mai abstract, care nu furnizează decât unele instrumente pentru descrierile ştiinţifice ale fenomenelor fizice, instrumente considerate de multe ori, mai ales de nespecialişti, mult prea diferite de realitatea concretă. Însă nu este aşa. Fizica utilizează în mod curent descrieri matematice. Cea mai mare parte a proceselor care se petrec în natură au primit deja descrieri matematice. Teorii precum cea a gravitaţiei formulate de Isaac Newton şi rafinate de Albert Einstein, teoria electromagnetismului, formulată prin contribuţia decisivă a lui Maxwell, sunt exemple în care contribuţia matematicii este esenţială.

În acelaşi timp, procesele specifice viului sunt caracterizate de o complexitate mai mare, încât, de cele mai multe ori, ele nu pot fi cuprinse printr-o simplă formulă matematică. Mai mult decât atât, în intenţia de a descrie formele vii, forma sau dinamica fiziologică a unor celule, organe sau organisme, chiar şi modelele matematice bune nu au decât o aplicabilitate restrânsă. Pe de o parte, cu cât modelul matematic este mai simplu, cu atât este mai puţin realist. Pe de altă parte, modelele „realiste”, care reuşesc să se apropie foarte mult de condiţiile sau comportarea sistemelor vii, vor avea, în mod inevitabil, mult prea mulţi parametri, încât descrierea va fi complexă şi utilizarea ei va fi anevoioasă.

Matematica şi lumea organismelor vii

Totuşi matematica a pătruns foarte mult şi în domeniile „rezervate” altădată biologiei. Prezenţa ei s-a făcut simţită mai întâi prin descrierile foarte bune pe care le-a oferit pentru structura şi dinamica populaţională a unor specii, de exemplu pentru descrierea modului cum evoluează raportul cantitativ între speciile de prădători şi cele care constituie prada, în ecosisteme dintre cele mai variate. Treptat, modelarea matematică a pătruns în tot mai multe domenii ale biologiei, ajungând să ofere numeroase modele capabile să descrie forma celulelor, multiplicarea celulară sau dinamica proceselor specifice vieţii celulare.

În general, pe baza observaţiilor referitoare la unele fenomene din realitate, matematica oferă modele, un fel de „construcţii” matematice exprimate prin anumite colecţii de variabile şi de regulile care guvernează valorile acestora. Intenţia este aceea de a fixa, prin intermediul descrierii matematice, „comportamentul” unui sistem, în cazul acesta un „sistem” viu. Odată elaborat, modelul matematic asociat acestui sistem viu poate fi testat, în variate situaţii, şi poate fi particularizat sau îmbunătăţit, după caz, prin rafinarea regulilor pomenite mai sus, prin ajustarea unor parametri sau chiar prin introducerea altor variabile care să aibă în atenţie aspecte noi referitoare la proces. Până la urmă, prin verificări şi modificări repetate, modelul poate deveni unul de încredere, un „instrument” ce poate anticipa destul de bine viitoarea comportare a sistemului, în diverse situaţii.

Aşadar, în timp ce biologia urmăreşte să ofere descrieri şi explicaţii ce vizează fenomenele lumii vii, matematicile pot intra în jocul ei oferind „sursele” ce furnizează modele de predicţie pentru structura şi comportamentul organismelor vii. În fine, trebuie spus că utilitatea acestor descrieri matematice privind lumea vie nu ţine doar de concizia şi claritatea limbajului matematic, care surprinde cumva „esenţa” dinamicii fenomenelor. Când modelele matematice sunt suficient de adecvate „realităţii”, ele se dovedesc folositoare prin faptul că oferă prognoze bune privind evoluţia viitoare a proceselor.

Gândirea matematică la frontierele cunoaşterii

Despre matematică precum o formă de asceză a gândirii se poate vorbi amintind de ceea ce unii filosofi au numit reflexivitatea gândirii. În această calitate, matematica diferă de ştiinţele experimentale. Ca atare, a fost apropiată de poezie şi suscită meditaţia filosofică. Aprofundând esenţa matematicii, ajungem la ideea de cunoaştere a cunoaşterii, la ceea ce Ion Barbu, de pildă, abstractizând şi generalizând foarte mult, a numit existenţele substanţial indefinite: punctul, dreapta, planul etc.

S-a vorbit despre apariţia problemelor în matematică. La originea lor sunt bucuria jocului şi meditaţia asupra limitelor. Fiind cea mai puţin dependentă de influenţele exterioare, gândirea matematică, s-a spus, dă seama de însuşirile generale ale gândirii, şi în această calitate preocupă psihologia, ca şi filosofia. Matematica pune filosofiei întrebări precum: statutul entităţilor matematice, natura intuiţiei matematice, problema interacţiunii dintre continuu şi discontinuu, infinit şi finit, global şi local. Matematica, trebuie spus, este partea exactă a gândirii umane.

Galilei a pus bazele spiritului ştiinţific modern, care abordează matematica nu doar ca pe un instrument de cercetare, ci ca pe un factor ontologic. Meditaţia asupra logosului matematic, a raţiunii calculatorii, asupra cantităţii şi relaţiilor captează deopotrivă interesul psihologiei, filosofiei şi teologiei. În psihologie, Jean Piaget a analizat raportul dintre structurile matematice şi structurile operatorii ale inteligenţei, dar şi raportul dintre legile construcţiei matematice şi cele ale organizării vii, înţelese ca o sinergie a funcţiilor ce corespund structurilor de grup, de ordine şi topologice. În teologie, logosul matematic e văzut uneori ca o proiecţie a logosului divin în creaţie, la nivelul cel mai general, al cantităţii şi relaţiei cantitative. Cât priveşte domeniul calităţii şi al atributelor şi cel al relaţiilor calitative, ele nu mai ţin de studiul matematic, ci de un alt tip de cunoaştere, afectivă, poetică, mistică.

Existenţa matematicilor, s-a spus, surprinde prin caracterul ei totodată riguros şi fecund. Fecund în sens de frecventă confirmare experimentală a rezultatelor. În matematică, orientarea intuiţionistă a câştigat teren în detrimentul celei logic-formaliste; în cel mai bun caz, avem de-a face cu combinarea celor două metode. Intuiţioniştii pun accent pe caracterul fecund, cu caracter ontologic, al construcţiilor matematice.

Mircea Maliţa a văzut posibilă depăşirea disputei între intuiţionişti şi formalişti, dintre empirişti şi raţionalişti, cum se mai spune, odată cu a treia cale, numită cea a experimentului mintal, ce defineşte matematica cu funcţie de noutate şi invenţie la nivel de raţiune umană.

Arhitectura matematicii contemporane a fost fundamentată pe o triadă elaborată de grupul Bourbaki: structură de grup, de ordine şi topologică. Această perspectivă structuralistă nu defineşte elementele separat, ci prin relaţii operatorii. La rândul lor, s-a remarcat, relaţiile operatorii prezintă o putere de transformare şi de deschidere care constă adesea în construirea obiectelor de experienţă.